初学者の数学が分からない理由の90%は証明の書き方を知らない

現在、私は数学科2年生向けの位相の授業にて、演習のTAをしているのですが、学生さんの解答の中には、「さすがにこの解答はちょっと…」というものがちらほら見受けられます。私は、数学の解答はある程度正しく書けないと、数学力が向上し辛いと思っています。なぜなら、よく数学書では頭の良い数学者の方が本を書かれるので、証明の大部分が端折られて書かれているため、「これは本当に証明できているのか…?」という気持ちになることが多々あります。そのため、証明を正しく書く力が備わっていないと、何が端折られているのか、この証明で今何を示しているのか、が分からない。結果、証明が理解できないまま、本を読み進めても、また次の命題の証明が分からないという無限ループに陥り、数学書全体の理解度がかなり下がります。ですから、私が担当している学生の皆さんには、ある程度きちんとした証明を書いて頂きたいと思って、TAの業務に努めています。そこで、今回は「なぜひどい解答を書いてしまうのか」という話をしたいと思います。もし初学者で数学が理解できないと悩んでいる場合は、よろしければこちらを参考にして、自分の証明の書き方は大丈夫だろうか、と確認してみてください。

ひどい証明を書く主な理由は、結論から言うと「証明の書き方を知らない」ことが原因だと思っています。証明を書く上で、大前提として「定義通り示す」ということがあります。集合の一致A=Bが示したかったら、定義通りAから元を取ってきて、それがBに含まれること、さらにBから元を取ってきて、それがAに含まれるを示す。この至極当然のことができていない人がちらほら見受けられます。これができていないため、「何を示しているか分からない」「これで命題を示したことになっているか分からない」「どのように証明を書けばよいか分からない」という事態に陥ると私は考えます。

証明の書き方については、「明らかと書くな」とか「同値をむやみやたら使うな」など、言いたいことはたくさんありますが、今日はその中でも一番重要で、できていない確率の高い「定義通り示す」ということについてお話ししました。そこを意識するだけでも、自分にとっても読み手にとっても、読みやすい証明になると思います。また、自分の証明が不安だという方は、周りの数学のできる人(ただし経験上あまり学部1,2年の人は止めたほうがいいかもしれない。できれば学部4年生以上が良い。なぜなら、ゼミで担当教員にボコボコにされて、自分なりの証明の書き方を会得しているであろうから)やTwitterの方たちに証明の添削を依頼してみるのはどうだろうか。兎に角、数学力の向上の第一歩は、「証明をきちんと書けるようになること」だと思います。証明がうまく書けない、書ける自信がない初学者の皆さんは頑張ってください!